質問

簡単に言うと、「0.99999・・・・」は「１」であると人間が決めたからです。
決まりごとですから、「そう思わないといけない」のです。

・・・しかし、これでは納得できないと思います。ということで、何とか理屈をつけます。

重要なのは0.999・・・の9が無限に続く場合に限り、0.999・・・=1です。
無限とは、まさに無限です、地球が誕生してから、この後、何百億年間、9を書き続けても、無限に続く0.999・・・は書き表せません。そんなことは無理なのでもう1にしてしまえと、あきらめ半分で0.999・・・=1と思ってもらっても問題ないと思います。
なぜなら、「0.999・・・=1」はとにかく「そう思わないといけない」からです。

・・・これは屁理屈ですが、ちょっと数学的に理屈を書きます。

例えば、
0.99÷9=0.11ですね。
0.9999÷9=0.1111です。
同じように、
0.999・・・÷9＝0.111・・・になると思います。
ところが、
1÷9=0.111・・・ですね。
ということは、
0.999・・・÷9=1÷9
ゆえに
0.999・・・=1になります。

おっしゃるとおり、0.111・・・の9倍は0.999・・・です。ところが、0.999・・・=1なので0.111・・・の9倍は１といっても数学上は間違いではないのです。
すなわち、直感的には、0.999・・・と１は違います。しかし、数式上は0.999・・・と１が同じになってしまいます。
直感より理論が優先される数学では、変に思っても0.999・・・＝１になってしまいます。
要は、最初に述べたように、「そう思わないといけない」のです。

• 回答者：ぶんた (質問から2時間後)
• 4

証明できるかできないかが数学では大切です。

１／９＝０．１１１１１１・・・・・（無限小数＝分数で表現できる）
１　＝　９　×　１／９　＝９　×　０．１１１１１１１・・・・　

１　＝　０．９９９９９９９・・・・・（無限小数０．９９９・・・は「１」で表現できる）・・・・・・①

※数式の表現の仕方が変化しているだけで、全てイコールです！

①より、無限小数は、分数で表現できて、更に、１＝０．９９９９・・・・
＞＞＞カブ　さん記述
＞でも、やっぱり、０．１１１１１……　の９倍は、０．９９９９９……　だと思うのです。
＞＞＞
そのとおりで、０．９９９９９・・・・　であるので、１＝０．９９９・・・（無限小数）が１で表現できることより、無限小数０．９９９９・・・・　は１である。

以上です。

• 回答者：数学講師 (質問から22時間後)
• 4

ウィキペディアに載ってたり
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
因みに
aを一桁の非負整数とすると
a/9=0.(a)
になることが知られています。(巡回少数の表記で上に・を書く方法しか知らなかった。その方法だとテキストだけだと書けなくて困っていたところだった)
つまり、a=9の時は
9/9=0.(9)
となり…

さらにおまけ
aを二桁ないし一桁の非負整数とすると
a/99=0.(a)
例えば
41/99=0.(41)=0.41414141…
7/99=0.(07)=0.07070707…

• 回答者：ぼっけ (質問から14時間後)
• 4

算術的には既に回答を出されていると思いますので、直感的なコメントだけします。

1/9に9を掛けると１です。（１÷９×９＝１）
先の質問で1÷9を0.11111・・・と割り切れていないのに、例えば0.11111で桁を区切りそれに×9してもそれは0.99999にしかなります。桁を小数点第５位（例えばですよ！）で切っているのでその時点で概算になっていますね。

• 回答者：cappy (質問から4時間後)
• 4

x→0（ｘを0に限りなく近づける)とき(0.11111・・・)×9は、初項0.1、公比0.1の無限等比級数に9をかけたものと考えられます。
したがって、9×lim｛(1-x)/9｝ （ただしx→0)と表現できるので「/9」の部分はlimの外に出すことができ、約分されてlim(1-x)（ただしx→0)のときの極限値を与える問題に帰着できます。

今、f(x)＝1-xとすると ε＞０となる任意のεに対してある数値であるδを取ると
｜f(x)－1｜＜εとなるδが必ず存在します。
すなわち、εをどんなに小さくしても、ある数値であるδ（この場合はεと等しい値）より小さなｘを代入すると | f(x) －1| <ε i.e. |(1-x)-1|＝|x|＜εが成立するようなｘが必ず存在します。

このようなときは、f(x)（ｘ→0)は1になると定義されています。定義なので証明不要です。
したがって、0.999・・・すなわち(9×0.11111・・・)と1は等しくなります。
ε－δ論法を見よう見まねで書いていますが、「無限」を有限の値で表現するための手段と考えて、ご質問のような事例を説明できる手段の一つと理解しています。

• 回答者：みっふぃ (質問から3時間後)
• 4

数学的に言うと

１＝０．９９９・・・・・

です。（感覚的には１＞０．９９９・・ですが）

高校数学で無限等比級数と言う単元があります。
（以下、専門用語が出てきます。ご了承を。カッコで説明しています。）

０．９９９・・・＝０．９＋０．０９＋０．００９・・・
なので
０．９９９・・・は初項（初めの数字）０．９で公比（右の数字が左の数字の０．１倍）の無限等比級数（無限に続くこと）でその和は

０．９／（１－０．１）＝１

となり、０．９９９・・・＝１　となります。

公式は　初項／（１－公比）　です。

０．３３３・・・なら　０．３／（１－０．１）＝０．３／０．９＝１／３　ですね。

簡単な考え方は、ガブさんの示した通りです。

高校で習ったときは、０．９９９・・は絶対１より小さいのに！と思った覚えがあります。
小数点以下に同じ数字が並ぶ少数を循環小数と呼びますが、循環小数は全て分数（整数も含みます）で表すことができます。

• 回答者：匿名 (質問から2時間後)
• 4

数学では、１と０．９９９９９・・・ （無限に９が続く）は、同じ物です。（実数の完備性により） 表現が違うだけ。

• 回答者：シティー (質問から2時間後)
• 4

1/9はそもそも実際にある数値ではないです。
1/9=0.111111111.... と書いているだけです。あくまで表示の問題です。
0.111111...のことを1/9というのであれば
0.111111....=1/9
0.111111....×9=1/9×9=1となります。
0.111111....×9のことを0.999999.....と書くとしたら0.9999......=1になりますね。

• 回答者：匿名希望 (質問から55分後)
• 5

計算途中をよく考えてみると
1/9=0.1 余り0.1
1/9=0.11 余り0.01
1/9=0.111 余り0.001
1/9=0.1111 余り0.0001
・・・・・・・・
なので
両辺に９をかけるということは実のところ
1/9 X 9=0.1111111・・・・・ X 9 + 0.000000・・・・・・1
で１に戻ります。

===補足===
こっちの方がいいかな？

1/9=0.1+0.1/9
1/9=0.11+0.01/9
1/9=0.111+0.001/9
・・・・・
両辺に9をかけるということは
1/9 X 9=0.111111・・・・・・ X 9 + (0.0000・・・・・・・・・1/9) X 9 = 1

• 回答者：dynoz (質問から43分後)
• 4

数学のパラドクスと言われる問題ですね。

無限大に続く、割り算として良く使われる
例題として、1÷３や、1÷6、1÷９などが
良く使われています。

同数が無限大に続くことは、それに近い
正数に近い数値として扱われることは、数学界の
常識となっています。

このような回答で、ご理解いただけるでしょうか。

• 回答者：不信で一杯 (質問から14分後)
• 4

前に似たような質問（問題？）があったような・・。

０，９＝１になることが数学的？に証明されていると・・・

• 回答者：Sooda! ちゃん (質問から9分後)
• 4