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質問

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∫e＾ｘ・e＾ｘ/(e＾x＋１) dx の計算方法を教えてください。。。

===補足===
∫e＾ｘ・e＾ｘ/(e＾x＋１) dx ではなく、∫e＾ｘ・e＾ｘ/(e＾x＋１)＾２ dx でした！

∫e＾ｘ・e＾ｘ/(e＾x＋１)＾２ dx の計算方法を教えてください。。。

  • 質問者：loveikimono
  • 質問日時：2010-10-28 16:10:55
  • 0

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回答

既に解法が示されているので、あえて書くまでもないかも知れませんが。

∫e＾ｘ・e＾ｘ/(e＾x＋１)＾2dx＝∫ｅ＾2x／（e＾x＋１)＾2ｄｘ＝∫(ｅ＾x）＾2／（e＾x＋１)＾2ｄｘ
＝∫（ｅ＾x／(e＾x＋１)）＾2ｄｘ　・・・(1)

ｅ＾x＝ｔとすると　ｅ＾xｄｘ＝ｄｔ　ｄｘ＝ｄｔ／ｔ　・・・(2)

(2)に(1)を代入すると、∫（ｔ／(t+1)）＾2／ｔ ｄｔ＝∫ｔ（t+1）＾(-2)ｄｔ
部分積分を使って、
∫ｔ（t+1）＾(-2)ｄｔ＝－ｔ（ｔ＋１）＾(-1) － ∫－（ｔ＋１）＾(-1)ｄｔ
＝－ｔ／（ｔ＋１）＋∫（１／(ｔ＋１)）ｄｔ＝－ｔ／（ｔ＋１）＋ｌｎ（ｔ＋１）＋C　（ただしCは積分定数）

以下、ｔをｅ＾ｘに代入し直せば答になります。
気になるのを既に回答していただいている方の回答と違っている点ですが・・・。
（私はどこかで計算ミスをしたでしょうか？）

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回答

置換積分でいけます。
e＾x＋1＝t ⇔ e＾x＝t－1 ⇔ e＾xdx＝dt

t＞0より積分定数をCとして
与式＝∫{(t－1)＾2／t}・{1／(t－1)}dt
　 　 ＝∫(t－1)／tdt
　　　＝∫dt－∫(1／ｔ)dt
　　　＝t－logt＋C
＝e＾x＋1－log(e＾x＋1)＋C

===補足===
同じ置換で行けますよ！あとのほうが簡単！

答えは　e＾x＋1－log(e＾x＋1)－1／(e＾x＋1)＋C

暗算だから間違ってるかもしれないけど、
このくらい自力踏んで確認してみて！

  • 回答者：たぶん (質問から22分後)
  • 0
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参考になり、満足しました。回答ありがとうございました。

回答

先ずＳを求めるーＥｅｅ（Ｅｅｅ＋Ｓ）
Ｅｅｅ＝Ｈｅｅで１　ＤＸを入れる
ので６９になる

===補足===
まちがいで１をつけるな、クソボケが！

  • 回答者：ｔｏｓｉ (質問から11分後)
  • 0
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回答ありがとうございました。

回答

∫e＾ｘ・e＾ｘ/(e＾x＋１) dx＝１９１９キタ━(゜∀゜)━!です

  • 回答者：匿名 (質問から5分後)
  • 0
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回答ありがとうございました。

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