0≦Θ≦πの範囲で関数g(Θ)=sin2Θ+√2(sinΘ+cosΘ)を考える。sinΘcosΘ=tとおくとtはどう表さ...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

＞sinΘcosΘ=tとおくとtはどう表されるか。
＞0≦Θ≦πのときtのとりうる範囲はどうか。

「ｔは」ではなくて、「g(Θ)は」のミスプリと思われるので、その解釈で話を進めます（そうでないとｔのとりうる範囲はともかくｔはすでに質問の中で表現されています）。

（sinΘ＋cosΘ)^2について考えると、
（sinΘ＋cosΘ)^2＝sin^2Θ＋cos^2Θ＋2sinΘcosΘ＝１＋２ｔ　
sinΘ＋cosΘ＝±（１＋２ｔ）^1/2　・・・(1)
ルートの中身は必ず≧0だから
１＋２ｔ≧0　ｔ≧－１／２が必要。・・・十分条件の証明は省略。代入すれば出てきます。
一方、相加相乗平均から（sinΘ＋cosΘ)/2≧（sinΘcosΘ)^(1/2)
等号はsinΘ＝cosΘで成立するからその時のΘはπ/4　
ｉ．ｅ．sinΘ＝cosΘ＝（１／２）^1/2
したがって、計算すると1/2≧（sinΘcosΘ)＝ｔ
ｔのとりうる範囲は1/2≧ｔ≧－1/2

ここで、ｔ＝sinΘcosΘ　と(1)をｇ(Θ）に代入すると、ｇ(Θ)＝２ｔ±（2(1+2t)）^1/2
複号は＋は3/4π≧Θ≧０のとき、－はπ≧Θ≧3/4πのとき

本来ならば微分等をしてグラフを書かないといけないのですが省略して、プロット等で考えると、（－２）^1/2≦ｇ(Θ)≦３　となります。Θは、（－２）^1/2になる時が０またはπ
３になる時がπ/4となります。

かなり粗い回答ですがあしからず。

===補足===
ベスト回答に選んでいただきありがとうございます。

申し訳ないのですが、訂正があります。

（－２）^1/2≦ｇ(Θ)≦３　は－(２＾1/2)の誤りでした。最初の書き方は変でした。
そして、　（－２）^1/2になる時が０またはπ　と書きましたが、は　－(２＾1/2)になる時のθはπだけです。
θが０の時は√2になるのでした。以上訂正いたします。失礼いたしました。

回答者：みっふぃ (質問から60分後)
1

質問

ベスト回答

関連する質問・相談

Sooda!からのお知らせ