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ベクトル
Oを原点とする座標空間内の二点A(0,-4,4)B(2,-1,2)とする。
点P(-3,6,6)のとき四面体OABPの体積は。
どのように求めたらよいですか。
まず位置関係がよくわからないです…。
教えて下さい。

  • 質問者:まな
  • 質問日時:2009-11-23 22:57:13
  • 0

点A,点B、点Pの位置関係は、適当に絵を描いて確かめてください。体積は、公式が有り、この四面体OABPの体積Vは、

V=(OA↑x OB↑)・OP↑

です。(ここで、x は外積、・ は内積を現わします。) 公式は、適当な教科書で探してください。

===補足===
平行六面体と四面体を読み違えてました。四面体OABPだと、

V=((OA↑x OB↑)・OP↑)/6

となります。なぜなら、OA↑と OB↑のなす三角形の面積の値で、△OABに垂直なベクトルは、

S↑=(OA↑x OB↑)/2

であり、S↑と同じ方向の単位ベクトルを e↑とし、△OABの面積をSとすれば、

S↑=S e↑ (内積や外積と混同するので、ベクトルとスカラーの積には「・」も「x」も記さない)

H=e↑・OP↑

となる。四面体の体積V は、三角錐の体積の公式より、V=SH/3なので、

V=V=SH/3=S (e↑・OP↑)/3=((Se↑)・OP↑)/3=(S↑・OP↑)/3
 =(((OA↑x OB↑)/2)・OP↑)/3=((OA↑x OB↑)・OP↑)/6

となる。後、計算は、行列式を使って

V=
  |0,-4,4|  /
  |2,-1,2| / 6
  |-3,6,6|/

となる。

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ベクトルOAとベクトル0Pの内積は0ですね。
ベクトルOBとベクトル0Pの内積も0ですので、
ベクトル0Pは ベクトルOAとベクトルOBに垂直です。
従って,OPは平面OABに垂直であることがわかります。

つまり、四面体OABCは、三角形OABが底面で
OPが高さの三角錐と考えられますので
三角形OAB X OP X 1/3
で求めてもいいですね。

  • 回答者:ぽっきー (質問から18時間後)
  • 0
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