かかってくる会社もありますし、かかってこない会社もありました。審査が厳しい会社はかかってくるみたいですね。
いわゆる在籍確認です。申し込み時に本人が嘘を書いていないかどうか簡単に確認したいのでしょう。
カード会社の名前を出すことはまず無いと思いますし、周囲の方も言わなくても大体は分かっていると思いますから気にすることでもないのでは?
ほとんどの場合は個人名でかかってきますし、一応そういう電話があるかもくらいのことは話しておいてもいいかもしれません。なくても良いですけど、一応言っておいてくれるとありがたいです。