「負けずぎらい」という言葉は、「負けず」つまり「負けない」のが嫌いなのに、なぜ負けるのが嫌いという意味で使われているので...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

「大野晋の日本語相談」（朝日文芸文庫）には以下のように書いてありました。

否定の「ず」ではなく、今も中部地方を中心に関東の一部や島根県に残っている
「意志や推量の"ず"」だというのです。

例として

・「寝ズ」（寝よう）静岡県
・「花ア見ズ」（花を見よう）山梨県
・「寒カラズ」（寒いだろう）岐阜県

意志と推量の「ズ」は江戸時代にも使われていて、

「すいた男に添はずとおもひきはめ」（東海道中膝栗毛）

これは「添わせようと思い」の意味だそうです。

さらに室町・院政時代にまでさかのぼると、

“ムトス→ムズ→ウズ→ズ”

というふうに変化してきて江戸時代に成立した「ズ」が今も方言に残り、
負けず嫌い」という形になったと指摘しています。

ここから考えると、「負けずぎらい」の「ズ」は、
「負けよう嫌い」「負けるだろうと思うことが嫌い」という意味なんだそうです。