ご安心ください。
Yahoo!メールなどのwebメールは、インターネットに接続したパソコンとIEなどのブラウザがあれば、マイパソコンでなくても閲覧できますので。
メール等のデータは、ヤフーさんが保管していて、あなたはそれをブラウザという窓から見るだけ。。。と思っていただければ、分かりやすいかも知れませんね。
ただ、(余談になりますが、、、)Outlook Express などのパソコンに入っているメールソフト(アプリケーション)を使って受信していらっしゃるものについては、メール(データ)が、あなたのパソコンの中にありますので、大切なメールは、保存して新しいパソコンに移動しなければ消えてしまいますので。。。お気をつけください。