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質問

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数学の「重複を許して作る組み合わせ」が分かりません。
どうして仕切りみたいなものも計算に入れるのですか？
公式の仕組みが分からないのです。
何件もサイトを巡ってきましたが一向に理解できないです。
どうか教えてください、助けてください！！

  • 質問者：匿名希望
  • 質問日時：2009-06-08 22:44:04
  • 1

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回答

仕切りみたいなものを入れて計算する説明は、前の人がしているので、それとは別に、１から１０の自然数から重複を許して３つの数を選ぶ組合わせを考える。組合わせを表現するのに、

（１，１，１）とか、（１，８，９）とか（５，１０，１０）のように、

（ａ，ｂ，ｃ）と表わし、ここで ａ≦ ｂ≦ ｃ となるようにする。ａ の成分に０を、ｂ の成分に１を、ｃ の成分に２を加えるように、すると

（１，１，１）　→　（１，２，３）
（１，８，９）　→　（１，９，１０）
（５，１０，１０）　→　（５，１１，１２）

の様な数字の組合わせに対応し、これは、１から１２の自然数から３つの数を選ぶ組合せとなる。よって、「１から１０の自然数から重複を許して３つの数を選ぶ組合わせの数」は「１から１２の自然数から３つの数を選ぶ組合せの数」と等しくなる。つまり、

10+3-1 Ｃ 3

である。同様に考えて、一般的に、「１から ｎ の自然数から重複を許してｒ 個の数を選ぶ組合わせの数」は、

ｎ+r-1 C r

となる。

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回答

例題があったほうが分かりやすいと思いますので・・・

例）10個の消しゴムを3人に配る場合

①受け取らない人がいてもOKなとき
【考え方】消しゴムを□とすると、
□□□□□□□□□□
ここに仕切りを2カ所入れて、3人に分ければいいので
例えば
□□□▲□□□□□▲□□
と仕切りを入れると、左に3個・中央に5個・右に2個、と分けられます（▲は仕切り）。

例えば
□□□▲▲□□□□□□□
これだと、左に3個・中央が0個・右に7個、と分けられます。

例えば
▲▲□□□□□□□□□□
これだと、左が0個・中央が0個・右に10個、と分けられます。
つまり
「消しゴム10個・仕切り2個」の計12個を一列に並べることと似ています。
つまり12!　となるわけですが、消しゴム1つ1つに区別がない（見た目は全て同じ消しゴム）ため、
また2つの仕切りにも区別がないので、12!を10!と2!で割ります。
　12!
──── ＝66通り
10!・2!

②必ず1人1個は受け取る場合
【考え方】
まず、必ず受け取る分（3個）をひいておき、残り7個について①と同様に考えます。
「消しゴム7個・仕切り2個」の計9個を一列に並べ、7!と2!で割ります。
　9!
─── ＝36通り
7!・2!

ここのサイトは参考になると思います。
http://www.orcaland.gr.jp/kaleido/juken/chofuku.html

  • 回答者：匿名希望 (質問から27分後)
  • 14
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回答

数学は、言葉の意味が難しいですね。

たとえば　１・２・３・４　という４つの数字から２個の数字を選ぶ場合、

「重複を許して作る組み合わせ」は、（１と３）　（２と４）などの違う数字の組み合わせだけでははく、（１と１）　あるいは　（２と２）などの同じ数字の
組み合わせが可能です。

「重複を許さない組み合わせ」は　（１と２）　あるいは（２と４）などで、（１と１）などの
同じ数字はダメです。

何組あるかはそれぞれの公式を利用数か、すべてを書き出して数えるかです。

  • 回答者：数学は難しい (質問から22分後)
  • 3
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